矩阵是什么意思（矩阵是什么意思解释）

以下节选自【遇见数学】发表的文章《图解线性代数——通过动画轻松理解线性代数的本质和几何意义》。

线性变换是线性空间中的运动，矩阵就是用来描述这种变换的映射。可以说矩阵的本质就是映射！

从这个角度来看还是没有直观的印象，所以我们就看图文并茂的动画吧。

矩阵不仅仅是一个值表：

事实上，它展示了线性空间在这个矩阵的作用下如何变化。观察下图二维平面内水平方向和垂直方向的膨胀和收缩过程：

从上面的动画可以看出：

垂直方向没有变换（A的第二列没有变化）；水平方向拉伸了两倍；变换后浅红色方块的面积扩大了一倍。这其实就是行列式——面积的含义。展开放大倍数Det(A)=2在看更多矩阵变换之前，先停下来看看下面静态图的进一步解释：

变换前矩阵的基向量i(1,0)已经移动到位置(2,0)，而j基向量(0,1)或(0,1)还没有进行任何变换(移动)——也就是说，基础发生了变化。

一旦理解了基的变化，整个线性变换也就清晰了——因为所有向量的变化都可以通过变化后的基向量来线性表达。观察红色向量(1,1.5)和绿色向量(-1,-下面)3)改变后的立足位置：

变换后向量(1,1.5)的位置实际上是变换后的基向量的线性表示。您还可以看到矩阵乘法是如何计算的：

与(-1,-3)变换后的位置类似，采用同样的计算方法：

您可以再次观看上面的动画来体验和验证计算结果。

让我们看看其他变换矩阵

这里，矩阵A的对角线(0,2)包含0。观察下面的动画：

可以看到：

水平方向变为0次；垂直方向拉伸至2倍；面积变化率为0次，即Det(A)=0；基数变化如下：

我们看一下：以下矩阵A的变换

可以看到：

整个空间向左倾斜；面积扩大到原来Det(A)=3.5倍；在三个不同矩阵（乘法）的作用下，整个空间发生了不同的变换，但原点没有改变，直线仍然是原来平行的直线保持平行，这就是线性变换的本质。

类似地，在三维线性空间中，矩阵也用于此类线性变换。需要说明的是，这里的行列式可以看作是变换后体积变化的放大倍数。观察下图。下面矩阵A变换后，空间会经过镜像翻转变换（展平为一条线），所以行列式的值为负值。